Untuk persamaan selain persamaan linear dan kuadrat, biasanya penyelesaian ditempuh dengan menggunakan metode numerik. Salah satu metode numerik yang banyak dipergunakan dalan statistika adalah Metode Newton-Raphson. Dalam statistika kita sering berhubungan dengan fungsi-fungsi likelihood yang akan dicari maksimumnya. Mencari maksimum dari suatu fungsi pada dasarnya sama dengan menyelesaikan persamaan dari turunan pertamanya. Pada umumnya persamaan seperti ini, dalam statistika jarang mempunyai penyelesaian analitik, sehingga harus dicari dengan metode numerik. Penyelesaian numerik suatu persamaan dicari melalui proses iterasi yaitu proses mengerjakan sekelompok operasi hitung yang semakin lama menghasilkan nilai yang semakin dekat dengan hasil yang sebenarnya, kecuali jika persamaan itu tidak memiliki jawaban. Secara umum bentuk iterasi Newton-Raphson yang dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0 adalah:

x1 = x0 – [f(x) / f’(x)] dengan f'(x) = df /dx.

Jika yang dicari adalah nilai x yang menyebabkan fungsi itu mencapai maksimum/ minimum, maka iterasi NewtonRaphson ini dimodifikasi menjadi:

x1 = x0 – [f'(x) / f”(x)]

Contoh:

Misalkan kita ingin mencari titik maksimum atau minimum dari fungsi:

f(x) = sin(x) + x² + 2x pada − 10 ≤ x ≤ 10.

Maka, langkah-langkah untuk membuat program dalam mencari titik maksimum fungsi tersebut dengan menggunakan Metode Newton-Raphson adalah seperti berikut:

Menentukan hasil-hasil matematika:

Dalam hal ini, fungsi yang diperlukan adalah turunan pertama dan kedua dari bagian persamaan yang dicari akar-akarnya. Dengan menggunakan berbagai tehnik dalam diferensial integral diperoleh hasil sebagai berikut. Fungsi turunan pertama dan kedua:

  • f'(x) = cos(x) + 2x + 2
  • f”(x) = -sin(x) + 2

Tulis Script Fungsi menggunakan R programming

d<-2
eps<-0.01
x0<-0
f.f1<-function(x){
cos(x)+2*x+2}
f.f2<-function(x){
-sin(x)+2}
it<-0
cat("\n Iterasi: ")
while(d>eps){
it<-it+1
x1<-x0-f.f1(x0)/f.f2(x0)
d<-abs(x1-x0)
x0<-x1
cat(" ",it)}
print(x0)
x<-seq(-2,1,0.1)
y<-sin(x)+x^2+2*x
f1<-cos(x)+2*x+2
f2<--sin(x)+2
plot(x,y,type='l',main='Grafik Fungsi dan Turunannya',xlab='X',
ylab='Y')
lines(x,f1,lty=2, col="blue")
lines(x,f2,lty=3, col="red")
lines(x,0*x)
ya<-seq(-2,4,0.1)
xa<-0*ya+x0
lines(xa,ya,lty=3, col="green")

Secara geometris dapat diilustrasikan/diperiksa kebenaran antara fungsi, turunannya dan nilai maksimum atau minimum dengan memeriksa grafiknya. Ilustrasi pada Gambar diatas menunjukkan hubungan dari rumus fungsi yang dibangun dengan R.


                                                     
                     
admin

By admin

One thought on “Metode Newton-Raphson dengan R”
  1. Apakah bisa untuk menggambarkan permukaan fungsi f(x,y) = 1/4√(64-16x²-4y²), kemudian tentukan daerah Definisi, tentukan daerah Jelajah, termasuk hitunglah diferensial parsial ke-x, dan hitung pula diferensial parsial ke-y.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *